$\mathbb{Z}^2 \times K_n$ 上的 $1$-独立渗流

若对宿主图 H 的边集 E(H) 的任意两个顶点不交子集 A、B，A 中边的状态（缺失或存在）与 B 中边的状态相互独立，则称 H 上的随机图模型为 1-独立的。对于无限连通图 H，1-独立临界渗流概率 $p_{1,c}(H)$ 定义为 [0,1] 中满足如下条件的最小 p 的上确界：H 上每个 1-独立随机图模型，若每条边以至少 p 的概率存在，则几乎必然包含一个无限连通分支。Balister 与 Bollob\'as 在 2012 年观察到 $p_{1,c}(\mathbb{Z}^d)$ 单调不增，且当 d 趋于无穷时趋于 [1/2, 1] 中的某个极限。他们问该极限的值是多少。我们在此问题上取得进展，证明 $$\lim_{n\rightarrow \infty}p_{1,c}(\mathbb{Z}^2\times K_n)=4-2\sqrt{3}=0.5358\ldots \ .$$ 事实上，我们用顶点数为 n、平均度数为 $\omega(\log n)$ 的弱伪随机图序列替代完全图序列 $K_n$ 时，上述等式依然成立。我们猜想，若以 n 维超立方体 $Q_n$ 替代 $K_n$，该等式也依然成立。后一猜想将蕴含 Balister 与 Bollob\'as 问题的答案为 $4-2\sqrt{3}$。利用我们的结果，我们还解决了 Day、Hancock 与第一位作者关于 $\mathbb{Z}\times K_n$ 上 1-独立随机图模型中长路径出现的问题。最后，我们证明了 1-独立随机图中分支演化的一些结果，并讨论了由我们的工作引出的一些开放问题，这些问题可能为 Balister 与 Bollob\'as 问题的进一步进展铺平道路。