超立方体上的多数 bootstrap 渗流

在图 G 上的多数 bootstrap 渗流中，感染依据如下确定性规则传播：若顶点 v 的邻居中至少有一半已被感染，则 v 也被感染，且被感染的顶点永远保持感染状态。若最终每个顶点都被感染，则称发生渗流。初始感染顶点集合 A \subset V(G) 中的元素通常独立随机选取，每个以概率 p 选取。该过程已在环面图序列 [n]^d（n = 1,2,...）上被广泛研究，其中 d = d(n) 为固定或关于 n 极缓慢增长的函数。例如，Cerf 与 Manzo 证明了若 d(n) < log*(n)，则临界概率为 o(1)，即若 p = p(n) 远离零，则 [n]^d 上渗流的概率随 n 趋于无穷而趋于一。本文研究 d 趋于无穷并非极慢增长的情形；特别地，我们证明了当 d > (loglog(n))^2 logloglog(n) 时临界概率为 1/2 + o(1)，并在 G 为超立方体 [2]^d 时给出了更强的界。