指数增长传递图临界概率的局部性

约在 2008 年, Schramm 猜想 Bernoulli 键渗流的临界概率满足如下连续性性质: 若 $(G_n)_{n\geq 1}$ 是收敛于传递图 $G$ 的传递图序列, 且 $\limsup_{n\to\infty} p_c(G_n) < 1$, 则当 $n\to\infty$ 时 $p_c(G_n)\to p_c(G)$。我们在附加假设——所涉及图的体积增长有一致指数下界——下验证了该猜想。即便在图序列一致非顺从的情形下, 该结果也是新的。在单模情形中, 此结果作为如下具独立意义的定理的推论获得: 对每个 $g>1$ 与 $M<\infty$, 存在正常数 $C=C(g,M)$ 与 $\delta=\delta(g,M)$, 使得若 $G$ 是度至多为 $M$ 且增长 $\operatorname{gr}(G) := \inf_{r\geq 1} |B(o,r)|^{1/r}\geq g$ 的单模传递图, 则对每个 $n\geq 1$ 有 $$\mathbf{P}_{p_c} \bigl(|K_o|\geq n\bigr) \leq C n^{-\delta}$$, 其中 $K_o$ 为根顶点 $o$ 的簇。该不等式的证明用到了某些双臂事件概率的新通用界, 其对所有单模传递图成立。