有限传递图上渗流阈值的存在性

设 $(G_n)$ 为顶点传递有限连通图序列，其体积趋于无穷。我们称参数序列 $(p_n)$ 为渗流阈值，若对任意 $\varepsilon > 0$，在键渗流 $\mathbb{P}_p^G$ 下最大簇所含顶点比例 $\left\lVert K_1 \right\rVert$ 同时满足 \begin{split} \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}_{(1+\varepsilon)p_n}^{G_n} \left( \left\lVert K_1 \right\rVert \geq \alpha \right) &= 1 \quad \text{对某个 $\alpha > 0$，且} \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}_{(1-\varepsilon)p_n}^{G_n} \left( \left\lVert K_1 \right\rVert \geq \alpha \right) &= 0 \quad \text{对所有 $\alpha > 0$}. \end{split} 我们证明 $(G_n)$ 存在渗流阈值当且仅当 $(G_n)$ 不包含一类特定的稠密图病态子序列的无穷集合。我们的论证使用了 Vanneuville 近期通过耦合对无限图相变锐性的新证明 [Van22] 的改编，以及我们与 Hutchcroft 关于巨簇唯一性的近期工作 [EH21]。