稠密图序列上的渗流

在本文中，我们确定了任意稠密图序列$(G_n)$的渗流阈值。令$\lambda_n$为$G_n$的邻接矩阵的最大特征值，并令$G_n(p_n)$为通过以概率$p_n$独立保留每条边所得到的$G_n$的随机子图。我们证明$G_n(p_n)$中出现巨分支的阈值尖锐地位于$p_n=1/\lambda_n$。事实上，我们证明了更强的结论：若$(G_n)$收敛到一个不可约极限，则$G_n(c/n)$的最大分支的密度趋于由该极限定义的多类型分支过程的存活概率。此处收敛与极限的概念取自Borgs、Chayes、Lovász、Sós和Vesztergombi。除使用收敛的基本性质外，我们大量运用了Bollobás、Janson和Riordan的方法，他们使用多类型分支过程研究了非常广泛的稀疏非均匀随机图中巨分支的出现。