排列多面体的演化

在引入随机图理论的奠基性论文中，Erd\H{o}s 和 R\'{e}nyi 考察了 $K_n$ 的随机子图结构随密度从 $0$ 增加到 $1$ 时的演化，并识别出该演化过程中的两个关键点——渗流阈值，即最大连通分支的阶从对数大小跃变至线性大小的点；以及连通性阈值，即子图变为连通图的点。在许多其他随机图模型中也观察到了类似现象，特别是 Ajtai、Koml\'{o}s 和 Szemer\'{e}di 的工作以及 Spencer 和 Erd\H{o}s 的工作确定了超立方体随机子图的相应阈值。我们在排列多面体上研究类似问题。排列多面体与超立方体一样，具有许多不同的等价表示，并在组合学的诸多领域中作为自然研究对象出现。特别地，作为一种高度对称的单纯多面体，与 $n$-单纯形和 $n$-立方体一样，该渗流模型自然地推广了 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图和渗流超立方体。我们确定了排列多面体随机子图的渗流阈值和连通性阈值。在此过程中，我们开发了一种新的图探索技术，可用于在高维几何图中寻找渗流后的指数级大连通分支，并开启了排列多面体等周性质的研究。