Erdős-Rényi随机图上的首达渗流

本文研究了Erdős-Rényi随机图$G_n(p_n)$上的首达渗流(FPP)，其中每条边被赋予一个独立的、速率为1的指数边权。在稀疏情形下，即当$np_n\to \lambda>1$时，我们得到了巨分量中均匀随机选取顶点之间路径的最小权重以及该最小权重路径上的跳数（即边数）的精细渐近行为。更精确地，我们证明了跳数的中心极限定理，其渐近均值和方差均等于$\lambda/(\lambda-1)\log{n}$。此外，我们证明了以$\log{n}/(\lambda-1)$为中心的最小权重依分布收敛。我们还研究了稠密情形，其中$np_n \to \infty$。我们发现，尽管基础图是“超小”的（意味着均匀随机选取顶点之间的图距离为$o(\log{n})$），但附加随机边权完全改变了网络的几何结构。事实上，跳数$H_n$满足普适性：无论$p_n$取何值，$H_n/\log{n}\to 1$依概率成立，并且更精确地，$(H_n-\beta_n\log{n})/\sqrt{\log{n}}$（其中$\beta_n=\lambda_n/(\lambda_n-1)$）具有极限标准正态分布。当$\lambda_n\gg \sqrt{\log{n}}$时，常数$\beta_n$可以精确地替换为1，这种情况已在文献中出现（在更强的$\lambda_n$条件下）。我们还得到了图中顶点间最大权重和最大跳数的界。本文继续了作者们对FPP的研究。与\cite{BHHS08}中研究的配置模型相比，由于FPP在Erdős-Rényi随机图与稀疏连续时间分支过程之间的直接联系，本文给出的证明要简单得多。