旋转不变的第一遍渗透：突破 $n/\log n$ 方差壁垒

对于欧几里得晶格 $\mathbb{Z}^d$ 上的第一遍渗透 ($FPP$)，预期其两点间首次渗透时间的方差随距离增长，增长率小于 $1$。继 Kesten 在 1993 年对方差的 $O(n)$ 上界 (Ann. Appl. Probab.) 之后，Benjamini、Kalai 和 Schramm (Ann. Probab., 2003) 利用超收紧技术获得了约 $\log n$ 的因数改进，当渗透时间取两种相等概率的值时。这一结果后来推广至更一般的渗透时间分布类别。然而，与在平面上可求解的最后渗透模型不同，其中方差已知为 $\Theta(n^{2/3})$，第一遍渗透时间方差的最佳已知上界在所有非平凡变体中均保持为 $O(n/\log n)$。对于平面上旋转不变的黎曼 FPP 的一类模型，我们证明方差为 $O(n^{1-\varepsilon})$，其中 $\varepsilon>0$。我们的论证使用 Basu、Sidoravicius 和 Sly (2023) 中对渗透时间和测地线的波动估计，结合多尺度论证，证明测地线 exhibits 无序混沌，即在对底层随机性作出小比例抽样后，更新后的测地线平均与原测地线具有较小的重叠度；这在大量尺度上建立，导致方差界得到多项式的改进。