高维第一遍渗透概率模型的时间常数的研究

在[2]中，关于当通过时间 $(\tau_{e})_{e\in \mathbb E^{d}}$ 为独立同分布的随机变量，其公共累计分布函数 $F$ 满足 $\left|\frac{F(x)}{x}-a\right| \le \frac{C}{|\log x|}$ 时，论文[2]声称在 $\mathbb Z^{d}$ 上的第一遍渗透概率模型的时间常数 $\mu_{d}(e_{1}) \sim \log d/(2ad)$ 作为 $d\to \infty$。然而，[2]中上界的证明，即式(2.1) \begin{align} \limsup_{d\to\infty} \frac{\mu_{d}(e_{1})ad}{\log d} \le \frac{1}{2} \end{align} 是不正确的。本文提供了一种不同的方法，以建立此不等式。作为这项新方法的副产品，我们还显示在边缘权重呈指数分布的情况下，到第一个超平面的非背向通过时间的方差的数量级为 $o\big((\log d/d)^{2}\big)$ 作为 $d\to \infty$。