高维首通渗流的时间常数

我们研究了 $\mathbb Z^{d}$ 上首通渗流的时间常数 $\mu(e_{1})$ 作为维数的函数。我们证明，如果通行时间具有有限均值，则 $$\lim_{d \to \infty} \frac{\mu(e_{1}) d}{\log d} = \frac{1}{2a},$$ 其中 $a \in [0,\infty]$ 是一个仅依赖于通行时间分布在 $0$ 处行为的常数。对于同一类分布，我们还证明了只要 $d$ 足够大，极限形状既不是欧几里得球，也不是 $d$ 维立方体或菱形。