三角格点上临界首达渗流的大数定律

我们研究三角格点 $\mathbb{T}$ 上的点渗流（独立）首达渗流模型。记 $\mathbb{T}$ 中点 $v$ 的通行时间为 $t(v)$，并假设 $P(t(v)=0)=P(t(v)=1)=1/2$。记 $a_{0,n}$ 为从 $\textbf{0}$ 到 $(n,0)$ 的通行时间，$b_{0,n}$ 为从 $\textbf{0}$ 到半平面 $\{(x,y):x\geq n\}$ 的通行时间。我们证明存在常数 $0<\mu<\infty$，使得当 $n\rightarrow\infty$ 时，$a_{0,n}/\log n\rightarrow \mu$ 依概率收敛，且 $b_{0,n}/\log n\rightarrow \mu/2$ 几乎必然收敛。该结果证实了 Kesten 和 Zhang (Probab. Theory Relat. Fields \textbf{107}: 137--160, 1997) 的预测。证明依赖于 Camia 和 Newman 建立的 $\mathbb{T}$ 上临界点渗流的全尺度极限的存在性。