Bernoulli首达渗流中时间常数的首项行为

我们考虑$\mathbb{Z}^d$($d\geq 2$)上标准的第一遍渗流模型,其边或图的顶点上关联着独立同分布的通过时间。我们关注通过时间分布为参数$1-\epsilon$的Bernoulli分布的特例。这些通过时间在$\mathbb{R}^d$上诱导出一个随机伪度量$T_\epsilon$。由次可加性论证可知,对任意$z\in\mathbb{R}^d\setminus \{0\}$,序列$T_\epsilon (0,\lfloor nz \rfloor) / n$几乎必然收敛于一个称为时间常数的常数$\mu_\epsilon (z)$。我们研究$\epsilon \mapsto \mu_\epsilon (z)$在$0$附近的行为,并证明$\mu_\epsilon (z) = \| z\|_1 - C (z) \epsilon ^{1/d_1(z)} + o ( \epsilon ^{1/d_1(z)})$,其中$d_1(z)$为$z$的非零坐标个数,$C(z)$是一个对其关于$z$的依赖关系部分显式的常数。