Strict inequality between the time constants of first-passage percolation and directed first-passage percolation

在$\mathbb{Z}^d$上的第一遍 percolation和有向第一遍 percolation模型中，我们考虑由图边缘集合的i.i.d.随机变量组成的家族，称为通过时间。对于每个具有非负坐标的顶点$x \\in \\mathbb{Z}^d$，我们记$t(0,x)$为从$0$到$x$的最短通过时间，记$\vec t(0,x)$为沿有向路径从$0$到$x$的最短通过时间。在某些假设下，已知对于每个$x \\in \\mathbb{R}^d$具有非负坐标，$t(0,\\lfloor nx \\rfloor)/n$收敛于常数$\\mu(x)$，且$\vec t(0,\\lfloor nx \\rfloor)/n$收敛于常数$\\vec\\mu(x)$。有了这些定义，我们立即得到$\\mu(x) \\le \\vec{\\mu}(x)$。在本文中，我们通过对$t(0,x)$和$\vec{t}(0,x)$进行比较的新型指数界限(当$\\|x\\|$趋于无穷时)，得到严格不等式$\\mu(x) < \\vec\\mu(x)$。这种指数界限本身基于对第一遍 percolation中测地线(具有最小通过时间的路径)边数的下界。