具有非同分布通行时间的首达渗流中的收敛性

在本文中，我们考虑在平方格子 $\mathbb{Z}^d$ 上的首达渗流，其边通行时间独立且二阶矩一致有界，但不必同分布。对整数 $n \geq 1$，令 $T_n$ 为从原点到点 $(n,0,\ldots,0)$ 的最小通行时间。我们证明当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{n}(T_n-\mathbb{E}T_n)$ 几乎必然且依 $L^2$ 收敛于零。该收敛是非平凡的，因为 $\frac{T_n}{n}$ 几乎必然渐近地远离零和无穷。我们首先定义一个截断版本 $\hat{T}^{(n)}_n$，它与 $T_n$ 渐近等价。然后我们使用 Kesten (1993) 鞅方法的有限盒子修正来估计 $\hat{T}^{(n)}_n$ 的方差。最后，我们使用子序列论证得到 $\frac{1}{n}(\hat{T}^{(n)}_n - \mathbb{E}\hat{T}^{(n)}_n)$ 的几乎必然收敛。随后利用 $T_n$ 与 $\hat{T}^{(n)}_n$ 的渐近等价性得到关于 $T_n$ 的相应结果。对于同分布通行时间，我们的方法另辟蹊径，无需借助次可加遍历定理即可得到 $\frac{T_n}{n}$ 几乎必然收敛于正常数 $\mu_F$。