二维临界首通渗流中被入侵测地线的非最优性

我们研究二维首通渗流的临界情形。令 $(t_e)$ 为赋给 $\mathbb{Z}^2$ 边上的独立同分布非负权值，满足 $\mathbb{P}(t_e=0)=1/2$，考虑顶点 $x,y$ 上诱导的伪度量（通行时间）$T(x,y)$。[2]中已证序列 $\mathbb{E}T(0,\partial B(n))$（其中 $B(n) = [-n,n]^2$）的增长阶（差一常数因子）与序列 $\mathbb{E}T^{\text{inv}}(0,\partial B(n))$ 相同。这第二个通行时间是自0到 $\partial B(n)$ 的任一驻留于某嵌入入侵渗流簇中路径的最小总权值。本文中，我们证明该常数因子不能取为1。即存在 $c>0$ 使得对所有 $n$，$$\mathbb{E}T^{\text{inv}}(0,\partial B(n)) \geq (1+c) \mathbb{E}T(0,\partial B(n)).$$ 该结果意味着模型的时间常数不同于相关入侵模型的时间常数，且两模型中的测地线具有不同结构。