二维临界首达渗流中测地线长度的超线性性

首达渗流研究度量空间 $(\mathbb{Z}^d,T)$，其中 $T$ 是一个随机度量，定义为使用分配给 $d$ 维立方晶格最近邻边 $\mathcal{E}^d$ 的随机边权 $(t_e)_{e\in \mathcal{E}^d}$ 的加权图度量。我们研究二维中的所谓临界情形，其中 $\mathbb{P}(t_e=0)=p_c$，$p_c$ 是二维边渗流的阈值。与标准情形 $(<p_c)$ 相比，临界情形下的距离 $T(0,x)$ 关于 $x$ 呈次线性增长，且测地线预期具有超线性的欧几里得长度。我们证明了这种超线性性的一个强版本，即存在 $s>1$ 使得以至少 $1-e^{-\|x\|_1^c}$ 的概率，从 $0$ 到 $x$ 的最短测地线至少有 $\|x\|_1^s$ 条边。我们的证明结合了用于界定一般临界分布的 $T$ 的最新思想，以及对 Aizenman-Burchard 估计随机曲线豪斯多夫维数技术的改进。