首达渗流中沿测地线的经验分布估计

在首达渗流中，我们为 $\mathbb{Z}^d$ 的最近邻边赋予独立同分布的非负权值 $(t_e)$ 并研究所诱导的伪度量 $T = T(x,y)$。本文聚焦于测地线（即 $T$ 的最优路径）并估计沿其权值的经验分布。我们证明从 $0$ 到 $x$ 的所有测地线并集中权值 $\geq M$ 的边的期望数目上界形如 $q(M) \mathbb{P}(t_e \geq M)|x|$，其中 $q(M) \leq e^{-cM}$。这表明沿测地线的期望经验分布的尾部比原始权值分布尾部轻一个指数因子。我们还给出从 $0$ 到 $x$ 的任意测地线中权值 $\geq M$ 的边的最小期望数目的下界，用 $\mathbb{P}(t_e \geq M)$ 和 $\mathbb{P}(t_e \in [M,2M])$ 表示。例如，这两者意味着若 $t_e$ 具有形如 $\mathbb{P}(t_e \geq M) \sim M^{-\alpha}$ 的幂律尾部，则期望经验分布的尾部渐近地介于 $e^{-CM \log M}$ 与 $e^{-cM}$ 之间。我们还提供了测地线中权值属于集合 $A$ 的边的期望数目估计，针对 (a) 任意 $A$，(b) $A$ 为远离 $t_e$ 支撑下确界的区间，以及 (c) 对某 $a \geq 0$ 有 $A=[0,a]$。