指数型最后通过渗流中沿测地线所见环境的收敛性

平面首达渗流中一个著名的问题涉及沿测地线所观测权重的经验分布的收敛性。我们针对一个显式模型——具有 i.i.d. 指数权重的 $\mathbb{Z}^2$ 上的有向最后通过渗流——证明了该收敛性，并给出了依赖于渐近方向的极限分布的显式公式。例如，对于沿对角线方向的测地线，极限权重分布具有密度 $(1/4+x/2+x^2/8)e^{-x}$，因此是 Gamma($1,1$)、Gamma($2,1$) 和 Gamma($3,1$) 分布分别以权重 $1/4$、$1/2$ 和 $1/4$ 的混合。更一般地，我们研究沿测地线从顶点所见的局部环境（包括关于路径形状的信息以及关于路径上和局部邻域内路径外权重的信息）。我们考虑从 $(0,0)$ 到 $n\boldsymbol{\rho}$（其中 $\boldsymbol{\rho}$ 为第一象限中某向量）的有限测地线，在 $n\to\infty$ 极限下的情况，以及方向为 $\boldsymbol{\rho}$ 的半无限测地线。我们展示了沿这些测地线的环境经验分布几乎必然收敛，以及这些测地线中典型点周围环境分布的收敛，均收敛于同一极限分布，我们给出了其显式描述。我们广泛利用了与从孤立第二类粒子所见的 TASEP 的对应，为此我们证明了关于遍历性和收敛到平衡的新结果。我们的分析依赖于涉及最后通过时间估计的几何论证，这些估计可从可积概率文献中获得。