平面首达渗流中测地线的合并与 BKS 中点问题

我们考虑 $\mathbb Z^2$ 上权重独立同分布的首达渗流，其公共分布绝对连续且具有有限指数矩。在极限形状具有多于 32 个极值点的假设下，我们证明具有相近起点与终点的测地线存在显著重叠，除端点附近的小部分外均发生合并。该陈述被量化，所涉及各量对测地线长度呈幂律依赖。该结果给出了 Benjamini--Kalai--Schramm 中点问题的定量解决。我们证明给定两点间测地线经过给定边的 probability 小于点与边之间距离的幂次。我们进一步证明某特定分布族满足极限形状假设。最后，关联于 1965 年 Hammersley--Welsh 的 highways and byways 问题，我们证明从原点出发的无穷测地线所覆盖的正方形 $\{-n,\dots ,n\}^2$ 的期望比例至多为 $n$ 的反幂次。该结果在无显式极限形状假设下获得。