$\mathbb{Z}^2$ 子集上第一通过渗流的极限测地线

在二维第一通过渗流中，从任意点到 $(n,0)$ 的有限测地线序列在 $n$ 趋于无穷时是否存在极限，这是一个公开问题。本文中，我们针对 $\mathbb{Z}^2$ 的一大类子图上的第一通过渗流考虑这一问题：这些子图的顶点集是无限的、连通的，且具有无限的连通补集。例如，这包括裂隙平面、半平面和扇形区域。记 $x_n$ 为边界顶点序列，我们证明，仅假设有限测地线存在，从任意点到 $x_n$ 的测地线序列几乎必然存在极限。对于所有通过时间配置，我们证明了极限 Busemann 函数的存在性。针对半平面的特殊情况，我们证明极限测地线图具有单个拓扑末端；即其所有无限测地线会合流，且不存在反向无限路径。为此，我们在附录中证明了在我们的区域上所有乘积测度下测地线的存在性，并移除了 Wehr-Woo 定理关于半平面中无双测地线结论的矩条件假设。