一般维度首通渗流中的测地线、双测地线与合并

我们考虑 $\mathbb{Z}^d$ 上具有独立同分布通行时间的首通渗流(FPP)的测地线。如文献中常见，我们假设FPP系统满足某些被猜想为真的基本性质，并由此推导后果。假设大致如下：(i) 尺度 $r$ 上通行时间的涨落尺度 $\sigma(r)$ 近似按正幂次 $r^\chi$ 增长，即 $\sigma(r)$ 和 $\chi$ 的两个自然定义给出相同值 $\chi$，且 (ii) 极限形状边界的曲率一致有界远离0和 $\infty$（我们有时可将此要求限制在某固定方向的邻域内）。推导的主要几乎必然后果如下，其中 $\nu$ 表示亚多项式函数，$\xi=(1+\chi)/2$ 为横向游走指数：(a) 对于具有给定渐近方向 $\theta$、起始于自然半空间 $H$ 的单端测地射线，对于距 $H$ 距离为 $r$ 的超平面，某些测地射线首次穿过该超平面的“进入点”的密度至多为 $\nu(r)/r^{(d-1)\xi}$，(b) 系统无双测地线，即无两端无限的测地线，(c) 给定两站点 $x,y$ 及距 $x$ 和 $y$ 均至少 $\ell$ 的第三站点 $z$，从 $x$ 到 $y$ 的测地线经过 $z$ 的概率至多为 $\nu(\ell)/\ell^{(d-1)\xi}$，且 (d) 在 $d=2$ 时，两站点给定方向的测地射线在距离 $r$ 后未合并的概率在亚多项式因子内按 $r^{-\xi}$ 衰减。我们的进入点密度界对应于自然猜想 $c/r^{(d-1)\xi}$，即进入点间距为 $r^\xi$ 阶，此为横向游走的猜想尺度。