有向景观中的对偶性及其在分形几何中的应用

测地线合并，即测地线趋于汇聚的现象，是在涉及欧几里得度量随机畸变的多种平面随机几何中观察到的标志性现象。因此，所有通向固定点的测地线内部之并往往形成一种树状结构，其支撑在空间中的占比趋于零。此类测地线树展现出复杂的分形行为；例如，虽然空间中几乎每一点只有一条通向固定点的测地线，但存在非典型点容许两条这样的测地线。本文考虑有向景观——最近构造的指数最后通过渗流（LPP）的标度极限——旨在开发工具以分析给定方向上半无限测地线树的分形方面。我们利用指数LPP中测地线树与交错竞争界面之间的对偶性（Pimentel '16），获得景观中测地线树与相应对偶树之间的对偶性。由此表明，关于测地线树非典型点集分形行为的问题可转化为对偶树的相应问题，后者可能更易处理。特别地，我们用此方法证明，在固定方向上容许两条半无限测地线的点集几乎必然具有Hausdorff维数$4/3$，从而回答了Busani-Seppäläinen-Sorensen '22中提出的问题。我们还证明，在固定方向上容许三条半无限测地线的点集几乎必然是可数的。