有向景观中互不相交测地线的共享端点的豪斯多夫维数

在Kardar-Parisi-Zhang普适类中，时空Airy片被猜想为末通 percolation模型的正则标度极限。在Dauvergne、Ortmann与Virág近期的工作arXiv:1812.00309中，该对象被构造出来，并被证明是其中一类模型——布朗末通渗流经抛物修正后的极限。这一称为有向景观的极限对象，容许任意两个时空点$(x,s)$与$(y,t)$（其中$s<t$）之间的测地路径。在本文中，我们考察这些路径集合的分形性质。我们的主要结果涉及容许互不相交测地线的例外端点。首先，我们固定两个不同的起始位置$x_1$与$x_2$，并考虑路径$(x_1,0)\to (y,1)$与$(x_2,0)\to (y,1)$。我们证明使得这些测地线仅在时刻$1$汇合的$y\in\mathbb{R}$集合的豪斯多夫维数为二分之一。其次，我们考虑端点$(x,0)$与$(y,1)$，它们之间存在的两条测地线仅在时刻$0$与$1$相交。我们证明此类$(x,y)\in\mathbb{R}^2$的集合同样具有豪斯多夫维数二分之一。证明需要若干具有独立意义的引理，包括（i）与arXiv:1904.01717中研究的所谓差重剖面的联系；以及（ii）对小区间内起止的互不相交测地线数目的尾概率估计。后一结果推广了arXiv:1709.04110中为预极限模型证明的类似估计。