Airy 差剖面与布朗局部时的局部与全局比较

近来，随着典型极限对象——抛物面 Airy 片 $\mathcal{S}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ [arXiv:1812.00309] 的构造，Kardar-Parisi-Zhang 普适类内出现了大量研究活动。抛物面 Airy 片提供了抛物面 Airy$_2$ 过程的耦合——平面最后通过渗流模型中的普适极限测地权重剖面——而一个自然目标是理解这种耦合。测地几何表明，两个抛物面 Airy$_2$ 过程的差，即差剖面，编码了重要的结构信息。该差剖面 $\mathcal{D}$ 由 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto \mathcal{S}(1,x)-\mathcal{S}(-1,x)$ 给出，最初由 Basu、Ganguly 和 Hammond [arXiv:1904.01717] 研究，他们证明了它是单调且几乎处处常值的，其非常值点构成 Hausdorff 维数为 $1/2$ 的集合。注意到这也是布朗运动零集的 Hausdorff 维数，我们采用了一种不同的方法。在建立 $\mathcal{D}$ 先前不可及的分形结构后，我们在全局尺度上证明，$\mathcal{D}$ 在紧集上关于增量意义下绝对连续于布朗局部时（速率为四），这也使得 [arXiv:1904.01717] 的主要结果作为一个简单推论。进一步，在局部尺度上，我们显式地获得速率为四的布朗局部时作为 $\mathcal{D}$ 在递增点处的局部极限，该递增点由若干方法选取，包括根据分布函数 $\mathcal{D}$ 抽样的一个典型点。我们的论证依赖于 $\mathcal{S}$ 通过抛物面 Airy 线系综的最后通过问题的表示，以及对确定性和随机时刻测地几何的理解。