KPZ不动点违背Johansson极大点唯一性猜想的例外时刻

2002年，Johansson猜想：Airy$_2$过程减去抛物线$x^2$的极大值几乎必然在唯一位置取得。这一结果在十年后由Corwin与Hammond、Moreno Flores、Quastel与Remenik以及Pimentel证明。在尺度变换下，Airy$_2$过程减去抛物线$x^2$作为从窄楔初始数据出发的KPZ不动点在固定时刻的空间边缘分布而出现。我们将此极大点唯一性结果推广到从极广泛一类初始数据出发的KPZ不动点之固定时刻空间边缘分布。这些结果均不能排除在随机时刻KPZ不动点空间边缘分布违背极大点唯一性的可能。为理解这一可能，我们研究了在给定时刻KPZ不动点有两个或更多位置其值接近极大值的概率，对极广泛一类初始数据给出了依接近程度的定量上界与下界。我们还计算了一个类似于两个极大点位置与极大值之联合密度的量。由此推得，极大点非唯一性时刻之集合的Hausdorff维数几乎必然至多为三分之二。我们的分析依赖于Matetski、Quastel与Remenik给出的KPZ不动点分布函数精确公式、Dauvergne、Ortmann与Virág构造的涉及Airy片的KPZ不动点变分公式，以及Corwin与Hammond所证明的Airy$_2$过程减去抛物线$x^2$的Brownian Gibbs性质。