关于具有粗糙系数的非自治抛物型柯西问题的存在性与唯一性

我们考虑上半空间上抛物方程$\partial_{t} u = {\rm div} A \nabla u$初值问题的存在性和唯一性问题，其中初始数据属于$L^p$空间。系数矩阵$A$假定为一致椭圆，但仅在空间和时间上是有界可测的。对于实系数和单个方程，这是一个古老的话题，已有综合理论，以Aronson的工作为顶峰。对于复系数或方程组，除Lions的工作外理解甚少，主要因为最大值原理失效。在本文中，我们用不依赖最大值原理的新方法重回该话题。这允许我们在$p\geq 2$时以这种一般性处理方程组，或在$p<2$时在诸如时间变量有界变差(比通常的H\"older连续假设弱得多的假设)的某些假设下处理。我们重新获得了实系数的结果，并对其进行补充。例如，我们在类$L^\infty(0,T; L^p({\mathbb{R}}^n))$中对于任意$L^p$数据$1\leq p \leq \infty$获得了唯一性。我们处理存在性问题的方法依赖于为适当能量空间精心构造传播子，涵盖了先前构造。我们处理唯一性问题(此处最新颖的方面)的方法依赖于Kenig-Pipher极大函数的抛物版本，用于非光滑区域上椭圆方程的背景。我们还证明了涉及Lusin型锥形平方函数的比较估计，并证明了关于解的非切向收敛的一些Fatou型结果。近期关于tent空间中不需要逐点热核估计的极大正则算子的结果是本研究的关键工具。