KPZ不动点极大值点的非唯一时刻

设 $\mathfrak h_t$ 为从任一保证 $\mathfrak h_t$ 在几乎每个时刻 $t$ 都有最大值的初始条件出发的 KPZ 不动点。对任意固定的 $t$,几乎必然地 $\max \mathfrak h_t$ 被唯一取到。然而,存在例外时刻 $t \in (0, \infty)$,使得 $\max \mathfrak h_t$ 在多个点处同时达到。令 $\mathcal T_k \subset (0, \infty)$ 表示 $\max \mathfrak h_t$ 恰在 $k$ 个点处取到的时刻集合。我们证明:几乎必然地 $\mathcal T_2$ 的 Hausdorff 维数为 $2/3$ 且稠密,$\mathcal T_3$ 的 Hausdorff 维数为 $1/3$ 且稠密,$\mathcal T_4$ 的 Hausdorff 维数为 $0$,且不存在 $\max \mathfrak h_t$ 在 $5$ 个或更多点处取到的时刻。这解决了 Corwin、Hammond、Hegde 和 Matetski 的两个猜想。