KPZ 不动点的长时与短时重对数律

我们考虑从一般类初始数据出发的 KPZ 不动点。在本文中,我们研究当时间 $t$ 趋于 $\infty$ 以及当 $t$ 趋于 $1$ 时,KPZ 不动点在空间点 $0$ 处的大峰值的增长。我们证明对于非常广泛的初始数据类,当 $t\to \infty$ 时,KPZ 不动点高度函数在按 $t^{1/3}(\log\log t)^{2/3}$ 缩放后几乎必然的 limsup 等于一个常数。该常数的值为 $(3/4)^{2/3}$ 或 $(3/2)^{2/3}$,取决于初始数据分别为非随机或布朗运动。此外,我们证明了 KPZ 不动点在 $t=1$ 附近的增量满足短时重对数律。更精确地,当时间增量 $\Delta t :=t-1$ 趋于 $0$ 时,对于包括布朗数据初始数据在内的广泛初始数据类,我们证明在时刻 $1$ 附近 KPZ 不动点高度增量按 $(\Delta t)^{1/3}(\log\log (\Delta t)^{-1})^{2/3}$ 缩放后几乎必然的 limsup 等于 $(3/2)^{2/3}$。