平稳 KPZ 方程的高度涨落

我们计算了平稳 KPZ 方程（即初始数据 $H(0,X)=B(X)$，其中 $B(X)$ 为双侧标准布朗运动）的单点概率分布，并表明随着时间 $T$ 趋于无穷大，高度函数 $H(T,X)$ 的涨落以 $T^{1/3}$ 的速度增长，并收敛于之前在研究平稳完全不对称简单排斥过程、多核生长模型和最后通过渗流时所遇到的涨落。这项工作的起点是我们推导出的 Macdonald 过程的 Fredholm 行列式公式，该公式退化为 Whittaker 过程的相应公式。我们将此与混合半离散和对数伽马随机聚合物的聚合物模型联系起来。该模型的一个特例具有极限，即趋向于初始数据由原点左侧漂移为 $\beta$、右侧漂移为 $b$ 的双侧布朗运动给出的 KPZ 方程。当 $\beta>b$ 时，Fredholm 行列式存在极限，而 $\beta=b$ 的情况（对应于平稳初始数据）则通过解析延拓论证得出。