半空间中 KPZ 方程的巨涨落

我们研究 $1+1$ 维 KPZ 方程的短时间区，并发展出一种统一方法以获得该区中的高度分布，只要存在以 Fredholm Pfaffian 或行列式形式给出的精确解即适用。这包括全空间中的 droplet 与平稳初始条件，此前由不同方法得到。新结果涉及半空间中若干 Neumann 边界条件下的 droplet 初始条件：硬壁、对称与临界。所有情形下，高度概率分布在小时间取大偏差形式 $P(H,t) \sim \exp( - \Phi(H)/\sqrt{t})$。我们解析得到上述情形的速率函数 $\Phi(H)$。其中心为高斯形式，尾部不对称：负侧为 $|H|^{5/2}$，正侧为 $H^{3/2}$。半空间左尾的振幅被发现为全空间的一半。如同全空间情形，我们发现这些左尾在所有时间均保持有效。此外，我们在此给出 (i) 硬壁边界条件解的新 Fredholm Pfaffian 公式，以及 (ii) 硬壁与对称边界解各自的 Fredholm 行列式表示。