一维 KPZ 方程 $(- \lambda H)^{5/2}$ 尾部的简单推导

我们研究 $1+1$ 维 Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程在布朗和液滴初始条件下的长时间 regime，并给出负侧 $\lambda H<0$ 高度大偏差尾部的简单推导。我们证明，对两种初始条件，累积分布函数均取大偏差形式，对 $- \tilde s \gg 1$ 其尾部由 $-\log \mathbb{P}\left(\frac{H}{t}<\tilde{s}\right)=t^2 \frac{4 }{15 \pi} (-\tilde{s})^{5/2}$ 给出。该精确表达式此前已在小时间下对两种初始条件观察到，表明这些大偏差在所有时间均成立。我们给出两种推导结果的方法：（i）利用 Fredholm 行列式公式的长时间估计；（ii）评估行列式点过程的累积量，其中相继累积量似乎给出了大偏差速率函数在大的 $\tilde s$ 展开中的相继阶数。还给出了基于低温下被困费米子大偏差的解释。此外，我们对半空间具液滴初始条件的 KPZ 方程做了类似计算，表明出现与上述相同的尾部，只是前置因子 $\frac{4}{15\pi}$ 替换为 $\frac{2}{15\pi}$。最后，论证可扩展以表明该尾部在所有时间成立。这与此前在全空间问题短时间极限中获得相同尾部的事实一致。