Kardar-Parisi-Zhang 方程大偏差统计中的动力学相变

我们研究 $1+1$ 维 Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程中表面高度 $h(x=0,t)=H$ 的概率分布 $\mathcal{P}(H,t)$ 的短时间行为。过程始于平稳界面：$h(x,t=0)$ 由受 $h(0,0)=0$ 约束的双侧布朗运动的实现给出。我们发现 $H$ 的大偏差函数在临界值 $H=H_c$ 处存在奇点。该奇点具有二级相变的特征。它反映了 KPZ 方程弱噪声理论所预测的最优路径 $h(x,t)$ 的反射对称性 $x \leftrightarrow -x$ 的自发破缺。在 $|H|\gg |H_c|$ 时，$\mathcal{P}(H)$ 的相应尾部标度满足 $-\ln \mathcal{P} \sim |H|^{3/2}/t^{1/2}$，并且在任意 $t>0$ 时与 Baik-Rains 分布的正确尾部一致，该尾部先前仅在长时间下观察到。$\mathcal{P}$ 的另一尾部标度满足 $-\ln \mathcal{P} \sim |H|^{5/2}/t^{1/2}$，并与尖楔初始条件对应的尾部重合。