半空间平稳 Kardar-Parisi-Zhang 方程

我们研究 Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程在正实数半线上界面高度 $h(x,t)$ 随机生长的解,等价地,即 $x=0$ 处带壁的连续有向聚合物在半空间中的自由能。边界条件 $\partial_x h(x,t)|_{x=0}=A$ 在 $A<0$ 时对应于吸引壁,并导致聚合物在临界值 $A=-1/2$ 以下与壁结合。此处我们选取初始条件 $h(x,0)$ 为 $x>0$ 上带漂移 $-(B+1/2)$ 的布朗运动。当 $A+B \to -1$ 时,解平稳,即 $h(\cdot,t)$ 始终为具有相同漂移的布朗运动,仅差一个全局高度偏移 $h(0,t)$。我们证明该高度偏移的分布关于参数 $A$ 与 $B$ 的交换不变。对任意 $A,B > - 1/2$,我们利用两种方法给出刻画任意时刻 $t$ 处 $h(0,t)$ 分布的精确公式:副本 Bethe ansatz 以及称为 log-gamma 聚合物的离散化(已获得其矩公式)。我们分析其在不同参数 $A,B$ 范围下的大时间渐近行为。特别地,当 $(A, B) \to (-1/2, -1/2)$ 时,即临界平稳情形,界面涨落由类似于全直线上平稳生长中出现的 Baik-Rains 分布之普适分布所支配。它可表为一个简单的 Fredholm 行列式,或等价地用 Painlevé II 超越函数表示。这为 KPZ 方程提供了 Betea-Ferrari-Occelli 近期在平稳半空间最后通过渗流中所获若干结果的类比。由普适性,我们预期两模型中发现的极限分布可被证明一致。