半直线上 Kardar-Parisi-Zhang 方程的副本 Bethe Ansatz 解

我们考虑正半直线上高度 $h(x,t)$ 界面随机增长的 Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程，其边界条件为 $\partial_x h(x,t)|_{x=0}=A$。它等价于半空间中随机势下的连续有向聚合物 (DP)，在 $x=0$ 处有一壁，壁为排斥型 $A>0$ 或吸引型 $A<0$。我们利用副本 Bethe ansatz 方法，对两个最近被证明等价的问题 [Parekh, arXiv:1901.09449] 给出精确解：任意 $A \geqslant -1/2$ 的液滴初态，以及具有漂移的布朗初态在 $A=+\infty$（无穷硬壁）的情形。我们研究 $x=0$ 处的高度，得到 (i) 任意时刻其指数分布的拉普拉斯变换；(ii) 无穷时刻其精确概率分布函数 (PDF)。这些以两种等价形式表达，或为具有矩阵值核的 Fredholm Pfaffian，或为具有标量核的 Fredholm 行列式。对于液滴初态且 $A> - \frac{1}{2}$，大时间 PDF 为 GSE Tracy-Widom 分布。对于 $A= \frac{1}{2}$（DP 束缚于壁的临界点），我们得到 GOE Tracy-Widom 分布。在临界区 $A+\frac{1}{2} = \epsilon t^{-1/3} \to 0$ 且固定 $\epsilon = \mathcal{O}(1)$ 时，我们得到连续依赖于 $\epsilon$ 的过渡核。我们的工作扩展了先前对 $A=+\infty$、$A=0$ 和 $A=- \frac{1}{2}$ 所得的结果。