半空间稳态 Kardar-Parisi-Zhang 方程超越布朗情形

我们研究具有诺伊曼型边界条件的半直线 $x \geqslant 0$ 上的 Kardar-Parisi-Zhang 方程。KPZ 动力学的稳态测度已在近期工作中刻画：它们依赖于两个参数，即动力学的边界参数 $u$ 和初始条件在无穷远处的漂移 $-v$。我们考虑当初始条件由这些稳态过程之一给出时高度场的涨落。在大时间 $t$，自然地将参数重标度为 $(u,v)=t^{-1/3}(a,b)$ 以研究临界区域。在先前工作处理的特例 $a+b=0$ 中，稳态过程仅为布朗运动。然而，这些布朗稳态测度在束缚相($a<0$)中尤为相关，而在非束缚相中并非如此。例如，从平坦或 droplet 初始数据出发，边界附近的高度场收敛到参数为 $a>0$ 和 $b=0$ 的稳态过程，其并非布朗运动。对于 $a+b\geqslant 0$，我们精确确定了高度函数 $h(0,t)$ 的大时间分布 $F_{a,b}^{\rm stat}$。作为一个应用，我们得到了从稳态初始数据出发时半直线中两时刻 $1\ll t_1\ll t_2$ 高度场的精确协方差，以及从 droplet 初始数据出发在极限 $t_1/t_2\to 1$ 时的估计。