环上 KPZ 界面空间平均高度的短时大偏差

利用最优涨落方法，我们评估长度为 $L$ 的环上由 Kardar-Parisi-Zhang 方程 $$\partial_th=\nu \partial_x^2h+\frac{\lambda}{2} \left(\partial_xh\right)^2+\sqrt{D}\xi(x,t)$$ 所支配的一维界面 $h(x, t)$ 的空间平均高度 $\bar{H} = (1/L) \int_0^L h(x, t=T) \, dx$ 的短时概率分布 $P (\bar{H}, L, t=T)$。过程始于平坦界面，$h(x,t=0)=0$。在 $\lambda \bar{H} < 0$ 以及足够小的正 $\lambda \bar{H}$ 处，以 $\bar{H}$ 为条件的界面的（即最小作用的）最优路径 $h(x,t)$ 在空间上均匀，且分布 $P (\bar{H}, L, T)$ 为高斯分布。然而，在足够大的 $\lambda \bar{H} > 0$ 处，空间均匀解变为次优并让位于非均匀最优路径。我们解析与数值地研究了它们以及由此产生的非高斯分布 $P (\bar{H}, L, T)$。均匀解最优性的丧失通过一阶或二阶动力学相变发生，取决于重整化系统尺寸 $\ell = L/\sqrt{\nu T}$，临界值为 $\bar{H}=\bar{H}_{\text{c}}(\ell)$。在大而有限的 $\ell$ 下，相变为一阶。值得注意的是，在 $\ell \to \infty$ 极限中它变为“偶然”二阶相变，其中观察到大偏差行为 $-\ln P (\bar{H}, L, T) \simeq (L/T) f(\bar{H})$（在 $\lambda=\nu=D=1$ 单位下）。在小 $\ell$ 下相变为二阶，而在 $\ell =O(1)$ 时两类相变均发生。