Airy 分布函数：从 Brownian 弧下积分面积到波动界面最大高度

Airy 分布函数描述 Brownian 弧在单位区间上积分面积的概率分布。意外的是，这一函数已出现在看似不相关的多个问题中，主要涉及计算机科学和图论。在本文中，我们展示了这一分布也出现在一个较为人物化的物理系统中，即波动界面。我们给出了在一维大小为 $L$ 的波动界面稳态中，最大高度 $h_m$（相对于平均空间高度测量）分布 $P(h_m, L)$ 的精确解。对于周期边界情况，证明 $P(h_m, L) = L^{-1/2} f(h_m L^{-1/2})$，其中函数 $f(x)$ 为 Airy 分布函数。该结果同时适用于 Edwards-Wilkinson 和 Kardar-Parisi-Zhang 界面。对于自由边界情况，同样存在尺度关系 $P(h_m, L) = L^{-1/2} F(h_m L^{-1/2})$，但尺度函数 $F(x)$ 与周期情况不同。我们显式计算了 Edwards-Wilkinson 界面上的该尺度函数，并称为其为 F-Airy 分布函数。数值模拟与我们分析结果高度一致。我们的结果为一类强相关随机变量极值分布提供了极其罕见的可解情形。其中一些结果已在近期的 Letter 中公布 [S.N. Majumdar 和 A. Comtet, 物理评论快报, 92, 225501 (2004)]。