一维 KPZ 方程中的短时间高度分布：从抛物线出发

我们研究了 $1+1$ 维 Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程在从抛物型界面 $h(x,t=0)=x^2/L$ 出发时，表面高度 $h(x=0,t)=H$ 的概率分布 $\mathcal{P}(H,t,L)$。$L\to\infty$ 和 $L\to 0$ 的极限最近已被对任意 $t>0$ 精确求解。此处我们探讨一般 $L$ 下 $\mathcal{P}(H,t,L)$ 的早期行为。我们采用弱噪声理论——WKB 近似的一种变体——其给出了界面的优化历史，条件是在时间 $t$ 原点达到给定高度 $H$。我们发现小 $H$ 时 $\mathcal{P}(H,t,L)$ 是高斯的，但其尾部非高斯且高度不对称。在领头阶和适当的运动参考系中，尾部行为为 $-\ln \mathcal{P}= f_{+}|H|^{5/2}/t^{1/2}$ 和 $f_{-}|H|^{3/2}/t^{1/2}$。因子 $f_{+}(L,t)$ 作为 $L$ 的函数单调递增，在先前已知的 $L=0$ 和 $L=\infty$ 处与时间无关的值之间插值。因子 $f_{-}$ 与 $L$ 和 $t$ 无关，标志着此类尾部对一整类确定性初始条件的普适性。