多维 KPZ 方程的偏微分方程估计

本系列文章研究 $d\ge 1$ 维下的 Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程 $$\partial_t h(t,x)=\nu\Delta h(t,x)+\lambda V(|\nabla h(t,x)|) +\sqrt{D}\, \eta(t,x), \qquad x\in{\mathbb{R}}^d$$。方程右侧的强迫项 $\eta$ 为正则化白噪声。沉积速率 $V$ 假设为各向同性且凸。假设 $V(0)\ge 0$，对于小梯度可得 $V(|\nabla h|)\ltimes |\nabla h|^2$，从而得到文献中最常用的方程形式。本文致力于解的存在性结果和偏微分方程估计。我们的结果以非平凡的方式扩展了此前针对无噪声方程获得的结果。特别是，我们在包含无界函数的新函数空间中证明了 KPZ 方程上下解的比较原理，从而蕴含了存在性和唯一性。这些由具有“局部有界平均值”的函数构成的新函数空间（下文统称为 ${\cal W}$-空间）可能引起对一般抛物型方程研究的兴趣，并允许进行局部或逐点估计。通过 Cole-Hopf 变换与线性热方程的比较是证明中的关键要素，因此我们的结果仅适用于在无穷远处至多具有二次增长的函数 $V$。