KPZ 方程、其重整化及不变测度

Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程是一个随机偏微分方程，由于其非线性项相对于驱动噪声的粗糙度仅是边缘定义的，因此该方程是不适定的。然而，其 Cole-Hopf 解（定义为具有乘性噪声的线性随机热方程 (SHE) 解的对数）是一个数学上良定义的对象。事实上，Hairer [13] 最近证明，在周期边界条件下，通过适当的重整化，SHE 的解实际上可以通过 KPZ 方程解的 Cole-Hopf 变换导出。不幸的是，这种变换并不适合研究这些马尔可夫过程的不变测度。本文引入了另一种针对整条直线 $\mathbb{R}$ 上或周期边界条件下 KPZ 方程的正则化方法，该方法从研究不变测度的角度来看是合适的。对该方程应用 Cole-Hopf 变换会得到一个具有涂抹噪声且包含额外复杂非线性项的 SHE。在时间平均和稳态机制下，证明该项可以被一个简单的线性项替代，因此极限方程是带有系数为 1/24 的额外线性项的线性 SHE。所用方法本质上是随机分析的：使用了 Wiener-Itô 展开以及一种类似于建立 Boltzmann-Gibbs 原理的方法。结果表明，具有由 Lebesgue 测度给出的高度平移的双向几何布朗运动的分布，在由 $\mathbb{R}$ 上 SHE 确定的演化下是不变的。