稳态 AKPZ 方程：对数超扩散性

我们研究二维各向异性 KPZ 方程（AKPZ），其形式由 \begin{equation*} \partial_t H=\frac12\Delta H+\lambda((\partial_1 H)^2-(\partial_2 H)^2)+\xi\,, \end{equation*} 给出，其中 $\xi$ 为时空白噪声，$\lambda$ 为严格正常数。经典二维 KPZ 方程的非线性项为 $|\nabla H|^2=(\partial_1 H)^2+(\partial_2 H)^2$，可通过 Cole-Hopf 变换线性化，而 AKPZ 则不行。我们证明 AKPZ 的稳态解（其不变测度为高斯自由场）是超扩散的：在 Tauberian 意义下，其扩散系数在长时间下随 $\sqrt{\log t}$ 发散，直至 $\log\log t$ 修正项。直观地说，这意味着关联长度随时间的增长形如 $t^{1/2}\times (\log t)^{1/4}$。此外，我们表明若对过程作扩散型重标度（$t\to t/\varepsilon^2, x\to x/\varepsilon, \varepsilon\to0$），则它已在量级约为 $1/\sqrt{|\log\varepsilon|}\ll1$ 的时间尺度上发生非平凡演化。只要非线性的系数 $\lambda$ 非零，上述结论均成立。这些结果不同于数学界中普遍相信的见解，即 AKPZ 方程在大尺度下是扩散的，且在简单扩散重标度下收敛于带加性噪声的二维随机热方程（2dSHE，即 $\lambda=0$ 的情形）。