构造(2+1)维KPZ方程的一个解

$(d+1)$维KPZ方程是$d$维粗糙随机曲面增长的典型模型。近年来,对$d=1$时KPZ方程的深刻数学理解已取得,而$d\ge 3$的情形也有一些进展。然而,最具物理相关性的$d=2$情形在数学上理解得并不十分清楚,这很大程度上是由于所需的重整化:在重整化群分析的语言中,$d=2$情形既不像$d=1$情形那样是紫外超可重整的,也不像$d\ge 3$情形那样是红外超可重整的。此外,与$d=1$不同,Cole-Hopf变换在$d=2$中不能直接使用,因为乘性随机热方程的解分布而非函数。在本文中,我们证明了当$\varepsilon \to 0$时,(2+1)维KPZ方程的Cole-Hopf解(其白噪声在空间尺度$\varepsilon$处被磨光,且非线性项乘以趋于零的因子$|\log\varepsilon|^{-1/2}$)存在子列尺度极限。我们还表明,以此方式获得的尺度极限不与线性化方程的解重合,意味着非线性具有非消失的效应。我们从而提出我们的尺度极限作为$2+1$维中KPZ演化的一个概念。