具有一般初始数据的 KPZ 方程的时间增量

我们考虑以初始数据 $f$ 开始的 (1+1) 维 KPZ 方程 $\mathcal{H}^f(t,x)$ 的 Cole-Hopf 解。在本文中，我们研究了 KPZ 时间过程 $\mathcal{H}_t^f := \mathcal{H}^f(t,0)$ 的样本路径性质。我们证明，对于一大类初始数据（包括任何增长慢于抛物线（$f(x) \ll 1 + x^2$）的确定性连续初始数据，以及窄楔形与平稳初始数据），$\mathcal{H}_t^f$ 的时间增量可由 Hurst 参数为 $\frac14$ 的分数布朗运动的增量很好地近似。作为推论，我们得到了 KPZ 时间过程的若干样本路径性质，包括时间过程的变差、重对数律、连续性模以及具有异常大增量的点集的 Hausdorff 维数。