具有光滑相的 (2+1) 维各向异性 KPZ 增长模型

基于重正化群论证，D. Wolf 猜想 $(2+1)$ 维随机增长过程依增长速率 $v(\rho)$ 作为平均斜率 $\rho$ 的函数其黑塞矩阵 $H_\rho$ 满足 $\det H_\rho>0$（“各向同性 KPZ 类”）或 $\det H_\rho\le 0$（“各向异性 KPZ（AKPZ）”类）而落入两个不同的普适类。前者以严格为正的增长与粗糙指数刻画，而在 AKPZ 类中涨落随时间与空间对数增长。自然要问 (a) 能否给出具有“光滑”稳态（即 $O(1)$ 涨落，而非 Wolf 图像中对数或幂律增长）的有趣增长模型，以及 (b) 当 $v(\cdot)$ 不光滑以致 $H_\rho$ 无定义时会出现何种新现象。这两个问题实际相关，本文在特定框架下对两者给出回答。我们定义了一种基于多米诺骨牌平铺所谓洗牌算法的 $(2+1)$ 维界面增长过程。其平稳、不可逆测度为 $\mathbb Z^2$ 上完美匹配的平移不变吉布斯测度，具 $2$-周期权重。若 $\rho\ne0$，已知涨落随空间对数增长且表现为二维 GFF。我们证明涨落随时间至多对数增长且 $\det H_\rho<0$：该模型属 AKPZ 类。而当 $\rho=0$ 时，稳态为“光滑”，关联在空间与时间上一致有界；相应地，$v(\cdot)$ 在 $\rho=0$ 不可微，我们提取了 $\rho\sim 0$ 时 $H_\rho$ 特征值的奇异性。