R^d 中傅里叶唯一性现象的密度判据

我们证明,若闭离散子集 $A \subseteq \mathbf{R}^d$ 比某一临界阈值更稠密,则 $A$ 是一个傅里叶唯一集;而若 $A$ 更稀疏,则唯一性失效,并且可以在 $A$ 上任意指定一个 Schwartz 函数及其傅里叶变换的值(假设这些值快速衰减)。对于傅里叶唯一对,同样成立更一般的结果。这是 Kulikov、Nazarov 和 Sodin 在 $1$ 维中工作的全维类比。我们的方法与之无关。作为我们结果的应用,我们在高维构造了最优良分离(至多差常数)的傅里叶唯一集。我们的技术也给出了高维离散傅里叶唯一对的第一个纯解析构造。作为一个具体例子,考虑 \begin{align*} A = \{\delta |n|^{t-1} n : n \in \mathbf{Z}^d\} \qquad \text{and} \qquad B = \{\delta |n|^{u-1} n : n \in \mathbf{Z}^d\}, \end{align*} 其中 $t,u,\delta > 0$ 且 $t+u = 1$。我们证明当 $\delta$ 足够小时,$(A,B)$ 是一个傅里叶唯一对,但当 $\delta$ 足够大时,存在一个无穷维的 Schwartz 函数空间 $f$ 满足 $f|_A = \hat{f}|_B = 0$。