$\mathbb{Z}^d$ 稠密子集中的距离与树
数论
2019-02-07 v2 经典分析与常微分方程
组合数学
摘要
在 \cite{FKW} 中，Katznelson 和 Weiss 确立了：对于 中任意给定的具有正上（Banach）密度的可测子集，总能在子集中的点对之间实现所有足够大的距离。Bourgain 在 \cite{B} 中使用傅里叶分析方法给出了该结果的第二个证明，以及一个更强的“固定变体”。在 \cite{M1} 中，第二作者调整了 Bourgain 的傅里叶分析方法，在 的条件下，针对 的子集建立了类似于 Katznelson 和 Weiss 的结果。我们给出了这一离散距离集结果的一个新的直接证明，并将其推广到任意树。利用适当的离散球面极大函数定理，我们最终建立了这些结果的自然“固定变体”。
引用
@article{arxiv.1509.09298,
title = {Distances and Trees in Dense Subsets of $\mathbb{Z}^d$},
author = {Neil Lyall and Akos Magyar},
journal= {arXiv preprint arXiv:1509.09298},
year = {2019}
}