Danzer问题、稠密森林的有效构造与数字序列

Danzer在1965年提出的问题：是否存在欧氏空间中具有有限密度的点集，与任何体积为1的凸体相交？最近解决该问题的一种方法涉及稠密森林的构造，并通过适当放宽体积约束来实现。稠密森林是一个具有有限密度的离散点集，均匀地接近足够长的线段。然后通过可见性函数来量化稠密森林中点的分布。另一种放宽Danzer问题假设的方法是放松密度约束。在这方面，本文引入了一个新概念，即光学森林。Rd中的光学森林是一个具有最优可见性但不一定具有有限密度的点集。在文献中，Danzer集和稠密森林的最佳构造缺乏有效性。本文的目标是提供稠密森林和光学森林的构造，这些构造在任意维度d≥2上，在可见性、密度界限和有效性方面都给出了已知最佳结果。具体来说，本文有三个主要结果：(1) 构造了一个具有已知最佳可见性界限的稠密森林，并且该森林具有确定性；(2) 确定性构造了一个光学森林，其密度仅在对数意义上不是有限的；(3) 构造了一个平面Peres型森林（即通过Peres构造得到的稠密森林），具有已知最佳可见性界限。这是通过构造一个具有强分散性质的确定性数字序列来实现的。