关于 Danzer 问题及稠密森林的构造

Danzer 在 1965 年提出的一个问题询问：在欧氏空间中是否存在一个具有有限密度的集合，能与任意体积为 1 的凸体相交。对体积约束的适当弱化引出了（更近期的）构造\emph{稠密森林}的问题。这些是离散点集，能与足够长的线段一致地接近。迄今为止，针对这些问题的进展涉及了广泛的思想，涵盖组合与计算几何、凸几何、丢番图逼近、偏差理论、动力系统理论、指数和理论、傅里叶分析、齐性动力学、准晶数学理论与概率论等不同领域。本文旨在综述与 Danzer 问题及稠密森林构造相关的已知结果，推广其中部分结果，并陈述若干开放问题，以推动这一长期问题的求解取得进一步进展。