球体交理论中的选题

本综述讨论了关于（主要是有限个）球体（主要指等半径）在 $d$ 维实向量空间中（主要配备欧几里得范数）的交或并的体积与组合结果。第一个主题是克内泽尔-波尔森猜想，即如果有限个球体重新排列使得球心两两距离增加，则并的体积增加（相应地，交的体积减少）。接下来，我们讨论布拉斯克-桑塔洛型不等式，以及作为（可能无限多个）半径为 $r$ 的球体的交而得到的欧几里得 $d$ 空间中凸集的反等周不等式，我们称之为 $r$-球体。我们展示了一些关于平面中 1-球体（也称球体或纺锤凸集）的结果，特别关注它们由有限子集的纺锤凸包进行逼近。球多面体是作为欧几里得 $d$ 空间中有限个单位球的交而得到的球体。我们考虑其面的组合结构，以及通过随机选择球心获得的球多面体的体积性质。