关于 r-球体的 Blaschke-Santaló 型不等式

令 ${\mathbb E}^d$ 表示 $d$ 维欧氏空间。由 ${\mathbb E}^d$ 中给定集合生成的 $r$-球体是以该给定集合中的点为中心、半径为 $r$ 的球的交集。作者 [Discrete Optimization 44/1 (2022), Paper No. 100539] 证明了 $r$-球体的如下 Blaschke-Santaló 型不等式：对所有 $0<k< d$ 以及 ${\mathbb E}^d$ 中任意给定 $d$ 维体积的集合，当其为一个球时，该集合生成的 $r$-球体的第 $k$ 个内蕴体积达到最大。在本注记中，我们给出一种新的证明，同时也说明了极大值取得者的唯一性。文中还提及了一些应用与相关的问题。